这个文档是关于考研数学一、数学二、数学三历年真题里面的高等数学证明题汇集(也就是考研数学里面的压轴题)。每年的得分率并不高,尤其近几年的题对于非数学系的学生而言还是比较难的,有些题就是数学分析里面的习题
对于这部分的复习我的建议是买一本专门的证明题辅导书(推荐徐兵老师的\bf{高等数学证明题500例解析}),在9月份之前花20多天的时间做专门的强化。做证明题的过程中,你的数学思维能力也会提高蛮多。
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[2000-09]
设函数 f(x) 在 [0,\pi] 上连续,且 \int_{0}^{\pi}f(x) dx = 0, \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x dx = 0 。证明:在 (0,\pi) 内至少存在两个不同的点 \xi_{1}, \xi_{
2} 使得 f(\xi_{1}) = f(\xi_{2}) = 0
[2001-07]
设 f(x) 在 (-1,1) 内具有二阶连续导数且 f^{\prime \prime}(x) \neq 0 。证明:
(1)对于 \forall x \in (-1,0)\cup (0,1) ,存在唯一的 \theta(x) \in (0,1) 使得 f(x) = f(0) + xf^{\prime} (\theta(x)x) 成立
(2) \lim\limits_{x \rightarrow 0}\theta(x) = 0.5
[2002-06]
设函数 f(x) 在 r 上具有一阶连续导数, l 是上半平面( y > 0 )内的有向分段光滑曲线,起点为 (a,b) ,终点为 (c,d) 。记 i = \int \frac{1}{y} \big[ 1 + y^{2} f(xy) \big] dx + \frac{x}{y^2} \big[ y^{2} f(xy) – 1 \big]
(1)证
明曲线积分 i 与路径 l 无关
(2)当 ab=cd 时,求 i 的值